🖕IEEE754标准

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浮点数编码

记一个 32 比特长度的二进制数为：

$$b_{31} b_{30} b_{29} \ldots b_2 b_1 b_0$$

根据 IEEE 754 标准，32-bit 长度的 float 由以下三个部分构成。

• 符号位 $\mathrm{S}$ ：占 1 位 ，对应 $b_{31}$。

• 指数位 $\mathrm{E}$ ：占 8 位 ，对应 $b_{30} b_{29} \ldots b_{23}$。

• 分数位 $\mathrm{N}$ ：占 23 位 ，对应 $b_{22} b_{21} \ldots b_0$。

二进制数 float 对应值的计算方法为：

$$\text {val} = (-1)^{b_{31}} \times 2^{\left(b_{30} b_{29} \ldots b_{23}\right)_2-127} \times\left(1 . b_{22} b_{21} \ldots b_0\right)_2$$

转化到十进制下的计算公式为：

$$\text {val}=(-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{\mathrm{E} -127} \times (1 + \mathrm{N})$$

其中各项的取值范围为：

$$\begin{aligned} \mathrm{S} \in & \{ 0, 1\}, \quad \mathrm{E} \in \{ 1, 2, \dots, 254 \} \newline (1 + \mathrm{N}) = & (1 + \sum_{i=1}^{23} b_{23-i} 2^{-i}) \subset [1, 2 - 2^{-23}] \end{aligned}$$

观察上图，给定一个示例数据 $\mathrm{S} = 0$ ， $\mathrm{E} = 124$ ，$\mathrm{N} = 2^{-2} + 2^{-3} = 0.375$ ，则有：

$$\text { val } = (-1)^0 \times 2^{124 - 127} \times (1 + 0.375) = 0.171875$$

现在我们可以回答最初的问题：float 的表示方式包含指数位，导致其取值范围远大于 int 。根据以上计算，float 可表示的最大正数为 $2^{254 - 127} \times (2 - 2^{-23}) \approx 3.4 \times 10^{38}$ ，($2^{e-1}-1=127$)切换符号位便可得到最小负数。

尽管浮点数 float 扩展了取值范围，但其副作用是牺牲了精度。整数类型 int 将全部 32 比特用于表示数字，数字是均匀分布的；而由于指数位的存在，浮点数 float 的数值越大，相邻两个数字之间的差值就会趋向越大。

如下表所示，指数位 $\mathrm{E} = 0$ 和 $\mathrm{E} = 255$ 具有特殊含义，用于表示零、无穷大、$\mathrm{NaN}$ 等。

指数位 E	分数位 N = 0	分数位 N != 0	计算公式
$0$	$\pm 0$	次正规数	$(-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{-126} \times (0.\mathrm{N})$
$1, 2, \dots, 254$	正规数	正规数	$(-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{(\mathrm{E} -127)} \times (1.\mathrm{N})$
$255$	$\pm \infty$	$\mathrm{NaN}$

值得说明的是，次正规数显著提升了浮点数的精度。最小正正规数为 $2^{-126}$ ，最小正次正规数为 $2^{-126} \times 2^{-23}$。双精度 double 也采用类似于 float 的表示方法，在此不做赘述。